V dlhej izbe je v rade za sebou 100 ziaroviek: Kazda ma svoj spinac a vsetky su vypnute. Su ocislovane od 1 po 100. Dalej je tam 100 ludi, tiez ocislovanych od 1 po 100. Osoba c. 1 prejde cez izbu a zapne kazdu ziarovku. Osoba c. 2 prejde potom tiez cez
Ono to zo začiatku vyzerá dosť komplikovane - nejprv som si myslel, že sa to nedá inak vyriešiť ako výpisom stavu všetkých žiaroviek po každom, čo tade prejde. Ale stačí porozmýšľať, koľko krát sa má zmeniť stav žiarovky, aby bol na konci taký, ako chceme a potom už len nájsť čísla, ktoré tomu vyhovujú - to nie je ťažké, lebo majú jedno zaujímavú vlastnosť.
Trvalo mi asi 20 minút, kým som na to prišiel. Ak chcete, môžem napísať postup, ako som presne uvažoval.
Xenomorph: Toto bola dobrá hádanka, daj ešte niečo ďalšie potom, ak máš.
Napr. a.: mas papier, zoberes pravitko, narysujes n (1,2,3...) lubovolne umiestnenych a natocenych rovnych ciar. Rozdelis tym papier na niekolko casti. Kolko ich moze byt maximalne, pri vhodnom rysovani tych ciar? Pomocka: ked si to raz uvedomis, je jasne, ze najvacsi mozny pocet oblasti dosiahnes, ked ziadne dve z ciar nebudu rovnobezne a ziadne tri sa nebdu pretinat v jednom bode. Postupuj "indukciou": narysuj jednu ciaru. Potom dalsiu, a zisti kolko novych oblasti na papieri pribudlo. Potom dalsie... atd. no a vseobecne zisti max. pocet tych oblasti pre n, pochopitelne bude to nejaky vyraz s n. a.-cko nie je komplikovane, matematicky najvyssiu znalost ti staci vediet vypocitat sucet n clenov aritmetickej postupnosti (a aj na to sa da logicky lahko dosjt)
No ak nemas rad matiku, neviem, sory mozno som sa nechal trocha matematicky uniest. Skusim si spomenut na nejake menej maticke ulohy.
Je nekonecne dlha miestnost s nekonecnym poctom ziaroviek a prepinacmi, prejde cez nu nekonecne vela ludi. Prvy zapne kazdu ziarovku. Druhy prepne stav nahodne (2k+1)-vej alebo (2k+2)-hej ziarovky (k=0,1,2...), t.j. (vypne prvu ALEBO druhu ziarovku) A (vypne tretiu ALEBO stvrtu ziarovku) A ... atd. Treti clovek prepne stav vzdy jednej zo ziaroviek 3k+1, 3k+2 alebo 3k+3 pre k=0,1,2... Atd. N-ty clovek prepne stav jednej zo ziaroviek 1..N, jednej zo ziaroviek N+1..2N atd., ten isty princip. Pravdepodobnost prepnutia stavu kazdej ziarovky v ramci jednej n-clennej skupiny, z kt. musi n-ty clovek vybrat, je vzdy rovnaka. Aka je pravdepodobnost, ze desiata ziarovka bude po prechode 10 ludi svietit? Aka je vseobecne pravdepodobnost, ze k-ta ziarovka bude po prechode n-teho clovka svietit? Existuju nejake limity, teda po prechode poctu ludi rastuceho nad vsetky medze, da sa urcit pravdpodobnost ci bude k-ta ziarovka svietit?
K tym ziarovkam, uvazujem takto: pre prvu ziarovku je po prechode druheho cloveka pravdepodobnost 1/2, ze bude zazata, pri prechode tretieho je pravdepodobnost zmeny stavu 1/3, stvrteho 1/4, n-teho 1/n, teda pre prvu ziarovku sa meni uz len malo a coraz menej pri prechode dalsich a dalsich ludi. Teda zrejme konverguje k 1/2 (t.j. ako si povedal, zapnuta:vypnuta = 1:1). A takto je to pre kazdu ziarovku po prechode dostatocneho poctu ludi, teda limity existuju. Pre ziarovky vyssich cisel a mensie pocty ludi mozu byt vsak pravdepodobnosti rozne.
Tot moja uvaha, riesenie nemam, lebo som danu ulohu vymyslel dnes v case medzi 14:20 a 14:22, ale myslim, ze horeuvedene uvahy su spravne, hladat exaktne vyjadrenie pre lubovolne k a n sa mi nechce.
a. spravne, a(n+2)=a(n+1)+a(n), Fibonacciho postupnost
b. spravne, neparne cleny su neparne cisla, parne cleny su mocniny dvojky
j. hypo spravne, ide o cislice Ludolfovho cisla 3.141592653589793238462643383...
Navody k dalsim, ak na to este niekto chce dojst sam, necitajte:
c. algoritmus pre ziskanie dalsieho clena z predchadzajuceho: krat 4, zmenime znamienko, plus jedna/minus jedna (strieda sa, zacina plusom)
d. striedavo pripocitavame a odpocitavame kocky prirodzenych cisel (+1,-8,+27,-64,+125...)
e. opat su tu 2 postupnosti, zacinajuc citatelom prveho zlomku striedava postupnost menovatel-citatel je tvorena prvocislami 2,3,5,7,11,13...; zacinajuc menovatelom prveho zlomku striedava postupnost citatel-menovatel su prirodzene cisla 1,2,3,4,5,6...
f. pre ziskanie dalsieho clena uplatnujeme operacie najprv krat 2, pre dalsi clen plus 2, dalsi deleno 2, dalsi minus 2, potom sa to cele opakuje.
g. dalsi clen ziskame, ked k predchadzajucemu pripocitame cislo s opacnym poradim cislic (196+691=887 atd.)
h. striedame krat 3, minus 3, krat 3, minus 3, ...
4. V kazdej z nasledujucich uloh ide o nejaky utvar v rovine alebo priestore. Predstavte si, ze na kazdom vrchole daneho utvaru je jeden mravec. Kazdy mravec sa vyberie po jednej hrane (zvoli si hranu, po kt. pojde nahodne, pravdepodob. pre kazdu hranu je rovnaka) a prejde po nej k najblizsiemz dalsiemu vrcholu. Aka je pravdepodobnost, ze sa ziadni dvaja mravci nestretnu, ani na ceste po hrane ani na vrchole?
Osvetlim to este prikladom pre trojuholnik. Je zrejme, ze kazdy mravec ma na vyber dve cesty - v alebo proti smeru hodin. ruciciek. Celkovo je teda 2.2.2=8 moznych sposobov, ako sa mozu premiestnit. Tiez je zrejme, ze sa nestretnu len v 2 pripadoch - ak pojdu vsetci traja naraz proti smeru alebo vsetci traja naraz v smere hod. ruc. To su 2 pripady z 8, teda pravdepodobnost, ze sa ziadni dvaja mravci nestretnu, je 2/8 = 1/4 = 0.25.
a, b spravne, ta kocka nie, tam mas ovela viac moznosti ako sa nestretnu. Uvazujme takto: ta uloha sa da vlastne preformulovat tak, ze zistujeme pocet uzavretych tras (ziadna z nich nepretina sama seba), tvorenych hranami a vrcholmi daneho utvaru, pricom kazda musi nevyhnutne obsahovat vsetky vrcholy (pri komplikovanejsich utvarocj je to dokonca pocet sustav tras). Je zrejme, ze pre kazdu takuto uzavretu trasu existuju dva pochody, pri kt. sa mravce nestretnu - kazdy sa vyberie na tej uzavretej trase jednym smerom - prvy prejde k druhemu vrcholu, druhy k tretiemu, ... predposledny k poslednemu, a kedze trasa je uzavreta, posledny prejde na vrchol, z kt. odisiel prvy mravec. No a tak isto, ked pojdu vsetci naraz opacnym smerom.
Zoberme si ten stvorsten (pravidelny, aj ked je to rovnake aj pre vseobecny). Nakresli si ho. Uvahou zistime, ze existuju prave styri trasy pozadovanych vlastnosti. Su to ako keby 2 trojuholniky, alebo stvorec prelozeny pozdlz uhlopriecky, trasa je obvod takehoto stvorca. Kazdu zo styroch hran stvorstena mozme brat ako uhlopriecku toho pomysleneho prelozeneho stvorca, preto su taketo stvorce, a teda aj trasy tvorene ich obvodmi (a obsahujuce vsetky 4 vrcholy stvorstena) prave 4. Mravce sa nestretnu, prave ked pojdu vsetky 4 po tejto trase jednym smerom al. vsetky opacnym, teda v osmich pripadoch. Celkovo existuje 3^4=81 pripadov, hladana pravdepodobnost je teda 8/81.
Uvazujme teraz kocku. To uz trocha komplikovanejsi pripad, lebo tu mozes mat aj jednu trasu potrebnych vlastnosti (kratko: trasu), ale aj dve. Rozoberme najprv pripad dvojic tras. Zjavne tieto mozu byt len trasy tvorene obvodom niektorej steny (=stvorca) kocky a steny k nej protilahlej. Kocka ma 3 dvojice protilahlych stien. Ukazeme, ze pre kazdu takuto dvojicu existuju prave 4 moznosti pohybu, pri kt. sa ziadne 2 mravce nestretnu - su to:
-mravce na jednej stene idu proti smeru hod. ruc. (PS) a mravce na druhej tiez,
-mravce na prvej idu PS, na druhej v smere (VS),
-na prvej VS na druhej PS,
-na prvej aj na druhej VS.
Teda uz v tejto faze mame 3.4=12 tras, na kt. sa ziadne dva mravce nestretnu.
Nakoniec musime rozobrat este pripad jednej trasy a tym uz budeme mat celkovy pocet moznych tras bez stretnutia:
Opat uvahou zistime, ze jedina trasa obsahujuca vsetky vrcholy kocky, uzavreta a nepretinajuca sa, ma tvar akejsi "vanicky", alebo je to obvod trojice stvorcov, stien kocky. Zjavne je kazda "vanicka" jednoznacne urcena strednym stvorcom (stenou). Na kocke mozno vybrat kazdu z jej 6 stien ako zaklad "vanicky", este si treba uvedomit, ze pre kazdu "vanicku" existuje este jedna jednoznacne urcena trasa, kt. vznikne jej otocenim v rovine jej zakladneho stvorca (steny) o 90 stupnov, pre kazdu takuto trasu su opat 2 mozne cesty mravcov, teda celkovo mame 2.2.6=24 dalsich ciest, na kt. sa mravce nestretnu.
Scitanim vysledkov dvoch predchadzajucich uvah mame 24+12=36 sposobov cesty, pri kt. sa mravce nestretnu.
Analogicky sa da postupovat pre dalsie telesa, pri komplikovanejsich musime brat do uvahy aj trojice,... n-tice tras na jednom utvare.
Uvazujme o stvorci rozdelenom na dalsich 9 rovnakych stvorcov=polickok (klasicke pole 3x3). Pytame sa: kolkymi sposobmi mozme jednoznacne zafarbit jedno policko stvorca?
Odpoved: troma. Tak, ze zafarbime stredne policko, policko v strede lubovolnej strany, policko v lubovolnom rohu. Co myslim tym jednoznecne? To, ze kazde ine zafarbenie mozme ziskat rotaciou jedneho z tychto zakladnych troch.
Ulohy:
kolkymi sposobmi mozme jednoznacne zafarbit
a. 2 policka 3x3 stvorca?
b. 3 policka 3x3 stvorca?
c. 1 policko 4x4 stvorca?
d. 2 policka 4x4 stvorca?
e. 1 policko 3x3x3 kocky?
f. 2 policka 3x3x3 kocky?
g. 3 policka 3x3x3 kocky?
h. 1, 2 a 3 policka pravid. stvorstena
i. 1, 2 a 3 policka pravid. 12- a 20-stena
Opat, vacsina tychto uloh nie je jednoducha, podobne ako ulohy o mravcoch. Ak sa ti chce do takeho dusevneho treningu (alebo hocikomu inemu), tak si radsej povedzte, ze chcete vyriesit jednu ulohu, a tej venujte aj 2 hodiny aj cely den, a ked ju vyriesite, mozte byt maximalne spokojni, lebo to nedokaze hocikto.
Sranda, az teraz som si vsimol, ze je tu takato zaujimava diskusia
Riesil som tu prvu povodnu ulohu o ziarovkach a vychadza mi to tak ako tvrdi Milan4622. Su to druhe mocniny cisel 1 az 10.
Preco? Ziarovku n prepne clovek cislo 1 a clovek cislo n. Tieto 2 prepnutia sa navzajom rusia, vsetky ziarovky su zhasnute. Okrem toho prepnu ziarovku aj ludia cislo k a l, ak plati, ze k*l=n. Opat su to 2 prepnutia, tie sa navzajom rusia a vsetky ziarovky zostavaju vypnute. Ziarovka zostane svietit len ak k=l, teda ak ziarovku prepne uz len 1 clovek, cim ju zapne. Na a ak k*l=n a k=l, potom n je druha mocnina cisla k. Preto zostanu svietit "druhomocninove" ziarovky
Xenomorph, mozme este rozobrat ako behaju mravce po stvorstene? Nech pocitam ako pocitam, stale mi vychadza ta pravdepodobnost 6/81=2/27. Podla mna existuju prave 3 uzatvorene cesty po hranach stvorstena, tazke ked mozu ist aj opacnym smerom, maju 6 moznosti z 81 celkovych, aby sa nestretli.
Jj jasne, su 3.2=6. Mea culpa, neviem, preco som tam napisal taku kravinu chvilkovy vypadok mozgu asi. Diky za opravu.
Bol by som rad, ak sa najde niekto, komu sa to tiez chce riesit tak ak chces mozes mi verifikovat tu kocku a potom mozme diskutovat aj o ostatnych telesach s mravcami, (vy)riesil som to pre vsetky vratane 20-stena, snazil som sa aj pre teserakt, ale to je momentalne nad ramec mojich schopnosti
S tou kockou mi to vychadza rovnako, Xenomorph. 36 moznosti z 6561 celkovych, teda pravdepodobnost 4/729.
Co sa tyka teseraktu, tak moja predstavivost v stvorrozmernom priestore dost zlyhava, asi to necham skor ako ma niekam odvezu
Teraz sa zamyslam nad tym, ako vyzera pravidelny 20-sten - mam medzery Zeby to bolo 20 pravidelnych trojuholnikov polepenych dokopy? Este si tak predstavit, ako by to asi slo...
Pozri si prve dva obrazky z druhej serie na tejto stranke. Ako si spravne dedukoval, sklada sa z 20 rovnostr. trojuh.
Moja uvaha o mravcoch na 20-stene:
20-sten ma 12 vrcholov. Nasim cielom je hladat n-tice uzavretych jednoduchych (nepretinajucich sa) tras, ktore spolu obsahuju vsetkych 12 vrcholov 20-stena, a ziadne dve sa nemaju spolocny bod. Pre kazdu takuto n-ticu potom existuje 2^n tras.
Napisme si teda mozne n-tice tras, pricom berme do uvahy len pocet tras v n-tici a dlzku trasy (pocet vrcholov 20-stena, ktore trasa obsahuje).
Mozme teda uvazovat o nasledujucich pripadoch, oprav ma, ak som nejake zabudol:
3-3-3-3: jedina mozna stvorica tras
Trojice:
4-4-4
5-4-3
6-3-3
Dvojice:
6-6
7-5
8-4
9-3
A napokon jedina trasa obsahujuca vsetkych 12 vrcholov.
Hlavna cast ulohy teraz spociva v tom, zistit pocet tras pre jednotlive podporblemy, ktore som hore vypisal.
Moje dva osobne postrehy, ktore som si uvedomil pri rieseni:
1. treba "davat pozor" pri rotacii tras, uvedomit si, kedy sa 2 n-tice zhoduju, kedy nie
2. treba si uvedomit, ze moze existovat viacero tras urcitej dlzky (t.j. trasy rovnakej dlzky, ale rozneho tvaru)
Zoberme si stvoricu 3-3-3-3:
Rozdelme si 20-sten na 2 polovice (ktore budu dokonale symetricke, kedze cely pravid. 20-sten je jednym z 5 platonskych telies P3). Zoberme si trojuholnik-trasu v strede jednej polovice 20-stena. Mame 2 sposoby, ako doplnit do druhej polovice zvysne 3 trasy. Podla mna, uvahou a priestorovou predstavou, ma zmysel volit za "bazalny" trojuholnik 8 stien 20-stena, ku kazdemu z nich existuju 2 stvorice tras, mame teda 16 stvoric, teda pre pripad 3-3-3-3 existuje 16.2^4 (=2^8) tras.
Obdobne som riesil ostatne pripady, pre niektore je to jednoduche, pre niektore extra komplikovane, ak chces, mozes sa pozriet ci ti 3-3-3-3 vyjde rovnako a potom mozme rozobrat aj ostatne priapdy.
Mame velmi dlhy rad ziaroviek na jednej priamke. Dej: zapne sa prva ziarovka, zhasne, zapne sa druha, zhasne, potom tretia, zhasne atd atd. Ak sa toto bude diat dostatocne rychlo, moze fiktivny pohybujuci sa svetelny bod dosiahnut pre pozorovatela nadsvetelnu rychlost?
Myslim, ze pomyselny svetelny bod by mohol dosiahnut nadsvetelnu rychlost. Staci predstavu redukovat na 2 ziarovky a povedat, ze je medzi nimi nenulova vzdialenost. Potom je teoreticky (pri dostatocne velkej vzdialenost aj prakticky) mozne zasvietit druhu ziarovku skor ako by k nej doslo svetlo od tej prvej.
Ty si skutocny teoretik D ale jasne, mas pravdu Len pre 2 ziarovky to nebude mat ziadny efekt. Ty si to vlastne dokonalou analyzou pripravil o vsetko caro Lebo pri tebou popisanom deji je ten bod az tak fiktivny, ze ho nikto nevidi, a niekto by sa vobec cudoval, co do toho ktosi pcha nadsvetelnu rychlost.
Clovek si inak lahko moze vymysliet x takychto prikladov "nadsvetelnej rychlosti". Napriklad, lietadlo leti vodorovne nad svahom extremne vysokej a strmej hory. Tien lietadla po svahu sa pohybuje rychlejsie ako svetlo
Alebo ukazujem laserovym ukazovadlom na velmi vzdialenu a velmi velku tabulu. Pohnem nim do niektorej strany, cervena bodka na tabuli sa posunie nadsvetelnou rychlostou
Chcel som sa este spytat, preco tieto fenomeny neprotirecia zakonom fyziky, ved napriklad pohyb tiena mozme povazovat za prenos informacie, ale pri tvojej analyze to bude asi zbytocne
Roleta je špeciálny inkognito mód, ktorým skryješ obsah obrazovky pred samým sebou, alebo inou osobou v tvojej izbe (napr. mama). Roletu odroluješ tak, že na ňu klikneš.
36 komentov
4
9
16
25
36
49
64
81
100
Trvalo mi asi 20 minút, kým som na to prišiel. Ak chcete, môžem napísať postup, ako som presne uvažoval.
Xenomorph: Toto bola dobrá hádanka, daj ešte niečo ďalšie potom, ak máš.
Pred par dnami som sa zaoberal deliacimi uvahami, kto chce:
Maximalne na kolko casti (dalej nerozdelenych) mozme rozdelit a. rovinu n priamkami?
b. priestor n rovinami?
c. k-rozmerny priestor n (k-1)-rozmernymi priestormi (toto som este nevyriesil ani ja)
d. rovinu n kruznicami?
e. priestor n gulovymi plochami?
f. k-romerny priestor n (k-1)-gulovymi plochami (zovseobecnenie gul. plochy do k-1 rozmerov, toto som opat este nevyriesil)
g. gulovu plochu n kruznicami
No ak nemas rad matiku, neviem, sory mozno som sa nechal trocha matematicky uniest. Skusim si spomenut na nejake menej maticke ulohy.
2b Co bohaty nepotrebuje, chudobny ma, a ked to jes tak zomries?
2a - to vôbec netuším
2b - niečo podobné som už niekde počul / čítal, ale neviem si spomenúť na odpoveď
A nad tými druhými žiarovkami idem rozmýšľať.
Desiata žiarovka po prechode desiatich ľudí mi z 10000 pokusov 4980-krát svietila a 5020-krát nesvietila. Z toho by mohla byť pravdepodobnosť 1:1.
Pomocou pravdepodobnosti a nejakými výpočtami to ešte riešiť neviem.
2b spravne, nic
K tym ziarovkam, uvazujem takto: pre prvu ziarovku je po prechode druheho cloveka pravdepodobnost 1/2, ze bude zazata, pri prechode tretieho je pravdepodobnost zmeny stavu 1/3, stvrteho 1/4, n-teho 1/n, teda pre prvu ziarovku sa meni uz len malo a coraz menej pri prechode dalsich a dalsich ludi. Teda zrejme konverguje k 1/2 (t.j. ako si povedal, zapnuta:vypnuta = 1:1). A takto je to pre kazdu ziarovku po prechode dostatocneho poctu ludi, teda limity existuju. Pre ziarovky vyssich cisel a mensie pocty ludi mozu byt vsak pravdepodobnosti rozne.
Tot moja uvaha, riesenie nemam, lebo som danu ulohu vymyslel dnes v case medzi 14:20 a 14:22, ale myslim, ze horeuvedene uvahy su spravne, hladat exaktne vyjadrenie pre lubovolne k a n sa mi nechce.
3.
a. 1 1 2 3 5 8 13 ?
b. 1 2 3 4 5 8 7 ?
c. 0 1 -5 21 -85 ?
d. 0 1 -7 20 -44 ?
e. 2 2/3 5/3 4/7 11/5 6/13 ?
f. 1 2 4 2 0 0 2 1 -1 ?
g. 196 887 1675 7436 ?
h. 2 6 3 9 6 18 ?
i. 3 7 5 6 11/2 ?
j. 3 1 4 1 5 9 2 6 5 ?
j 3
2b - ak by som to kedysi niekde nečítal aj s odpoveďou, tak na to určite neprídem
3
a - Hypofokortexor: súhlas
b - 16 ?
ostatné neviem
a. spravne, a(n+2)=a(n+1)+a(n), Fibonacciho postupnost
b. spravne, neparne cleny su neparne cisla, parne cleny su mocniny dvojky
j. hypo spravne, ide o cislice Ludolfovho cisla 3.141592653589793238462643383...
Navody k dalsim, ak na to este niekto chce dojst sam, necitajte:
c. algoritmus pre ziskanie dalsieho clena z predchadzajuceho: krat 4, zmenime znamienko, plus jedna/minus jedna (strieda sa, zacina plusom)
d. striedavo pripocitavame a odpocitavame kocky prirodzenych cisel (+1,-8,+27,-64,+125...)
e. opat su tu 2 postupnosti, zacinajuc citatelom prveho zlomku striedava postupnost menovatel-citatel je tvorena prvocislami 2,3,5,7,11,13...; zacinajuc menovatelom prveho zlomku striedava postupnost citatel-menovatel su prirodzene cisla 1,2,3,4,5,6...
f. pre ziskanie dalsieho clena uplatnujeme operacie najprv krat 2, pre dalsi clen plus 2, dalsi deleno 2, dalsi minus 2, potom sa to cele opakuje.
g. dalsi clen ziskame, ked k predchadzajucemu pripocitame cislo s opacnym poradim cislic (196+691=887 atd.)
h. striedame krat 3, minus 3, krat 3, minus 3, ...
i. a(n+2) a(n)+a(n+1)/2
Z tohto uz lahko dostanete konkretne hodnoty.
4. V kazdej z nasledujucich uloh ide o nejaky utvar v rovine alebo priestore. Predstavte si, ze na kazdom vrchole daneho utvaru je jeden mravec. Kazdy mravec sa vyberie po jednej hrane (zvoli si hranu, po kt. pojde nahodne, pravdepodob. pre kazdu hranu je rovnaka) a prejde po nej k najblizsiemz dalsiemu vrcholu. Aka je pravdepodobnost, ze sa ziadni dvaja mravci nestretnu, ani na ceste po hrane ani na vrchole?
Osvetlim to este prikladom pre trojuholnik. Je zrejme, ze kazdy mravec ma na vyber dve cesty - v alebo proti smeru hodin. ruciciek. Celkovo je teda 2.2.2=8 moznych sposobov, ako sa mozu premiestnit. Tiez je zrejme, ze sa nestretnu len v 2 pripadoch - ak pojdu vsetci traja naraz proti smeru alebo vsetci traja naraz v smere hod. ruc. To su 2 pripady z 8, teda pravdepodobnost, ze sa ziadni dvaja mravci nestretnu, je 2/8 = 1/4 = 0.25.
Aka je pravdepodobnost pre nasledujuce utvary?
a. stvorec
b. patuholnik
c. stvorsten
d. kocka
e. pravidelny osemsten
f. pravidelny 12-sten
g. pravidelny 20-sten
b. 2/32 = 1/16
d. 4/6561
Zoberme si ten stvorsten (pravidelny, aj ked je to rovnake aj pre vseobecny). Nakresli si ho. Uvahou zistime, ze existuju prave styri trasy pozadovanych vlastnosti. Su to ako keby 2 trojuholniky, alebo stvorec prelozeny pozdlz uhlopriecky, trasa je obvod takehoto stvorca. Kazdu zo styroch hran stvorstena mozme brat ako uhlopriecku toho pomysleneho prelozeneho stvorca, preto su taketo stvorce, a teda aj trasy tvorene ich obvodmi (a obsahujuce vsetky 4 vrcholy stvorstena) prave 4. Mravce sa nestretnu, prave ked pojdu vsetky 4 po tejto trase jednym smerom al. vsetky opacnym, teda v osmich pripadoch. Celkovo existuje 3^4=81 pripadov, hladana pravdepodobnost je teda 8/81.
Uvazujme teraz kocku. To uz trocha komplikovanejsi pripad, lebo tu mozes mat aj jednu trasu potrebnych vlastnosti (kratko: trasu), ale aj dve. Rozoberme najprv pripad dvojic tras. Zjavne tieto mozu byt len trasy tvorene obvodom niektorej steny (=stvorca) kocky a steny k nej protilahlej. Kocka ma 3 dvojice protilahlych stien. Ukazeme, ze pre kazdu takuto dvojicu existuju prave 4 moznosti pohybu, pri kt. sa ziadne 2 mravce nestretnu - su to:
-mravce na jednej stene idu proti smeru hod. ruc. (PS) a mravce na druhej tiez,
-mravce na prvej idu PS, na druhej v smere (VS),
-na prvej VS na druhej PS,
-na prvej aj na druhej VS.
Teda uz v tejto faze mame 3.4=12 tras, na kt. sa ziadne dva mravce nestretnu.
Nakoniec musime rozobrat este pripad jednej trasy a tym uz budeme mat celkovy pocet moznych tras bez stretnutia:
Opat uvahou zistime, ze jedina trasa obsahujuca vsetky vrcholy kocky, uzavreta a nepretinajuca sa, ma tvar akejsi "vanicky", alebo je to obvod trojice stvorcov, stien kocky. Zjavne je kazda "vanicka" jednoznacne urcena strednym stvorcom (stenou). Na kocke mozno vybrat kazdu z jej 6 stien ako zaklad "vanicky", este si treba uvedomit, ze pre kazdu "vanicku" existuje este jedna jednoznacne urcena trasa, kt. vznikne jej otocenim v rovine jej zakladneho stvorca (steny) o 90 stupnov, pre kazdu takuto trasu su opat 2 mozne cesty mravcov, teda celkovo mame 2.2.6=24 dalsich ciest, na kt. sa mravce nestretnu.
Scitanim vysledkov dvoch predchadzajucich uvah mame 24+12=36 sposobov cesty, pri kt. sa mravce nestretnu.
Analogicky sa da postupovat pre dalsie telesa, pri komplikovanejsich musime brat do uvahy aj trojice,... n-tice tras na jednom utvare.
Uvazujme o stvorci rozdelenom na dalsich 9 rovnakych stvorcov=polickok (klasicke pole 3x3). Pytame sa: kolkymi sposobmi mozme jednoznacne zafarbit jedno policko stvorca?
Odpoved: troma. Tak, ze zafarbime stredne policko, policko v strede lubovolnej strany, policko v lubovolnom rohu. Co myslim tym jednoznecne? To, ze kazde ine zafarbenie mozme ziskat rotaciou jedneho z tychto zakladnych troch.
Ulohy:
kolkymi sposobmi mozme jednoznacne zafarbit
a. 2 policka 3x3 stvorca?
b. 3 policka 3x3 stvorca?
c. 1 policko 4x4 stvorca?
d. 2 policka 4x4 stvorca?
e. 1 policko 3x3x3 kocky?
f. 2 policka 3x3x3 kocky?
g. 3 policka 3x3x3 kocky?
h. 1, 2 a 3 policka pravid. stvorstena
i. 1, 2 a 3 policka pravid. 12- a 20-stena
Opat, vacsina tychto uloh nie je jednoducha, podobne ako ulohy o mravcoch. Ak sa ti chce do takeho dusevneho treningu (alebo hocikomu inemu), tak si radsej povedzte, ze chcete vyriesit jednu ulohu, a tej venujte aj 2 hodiny aj cely den, a ked ju vyriesite, mozte byt maximalne spokojni, lebo to nedokaze hocikto.
ale nie len tak dalej otazka znie naco Vam to bude ? no nic, tak teda vela uspechov prajem
a aky je tvoj nazor ?
hehe
Riesil som tu prvu povodnu ulohu o ziarovkach a vychadza mi to tak ako tvrdi Milan4622. Su to druhe mocniny cisel 1 az 10.
Preco? Ziarovku n prepne clovek cislo 1 a clovek cislo n. Tieto 2 prepnutia sa navzajom rusia, vsetky ziarovky su zhasnute. Okrem toho prepnu ziarovku aj ludia cislo k a l, ak plati, ze k*l=n. Opat su to 2 prepnutia, tie sa navzajom rusia a vsetky ziarovky zostavaju vypnute. Ziarovka zostane svietit len ak k=l, teda ak ziarovku prepne uz len 1 clovek, cim ju zapne. Na a ak k*l=n a k=l, potom n je druha mocnina cisla k. Preto zostanu svietit "druhomocninove" ziarovky
Bol by som rad, ak sa najde niekto, komu sa to tiez chce riesit tak ak chces mozes mi verifikovat tu kocku a potom mozme diskutovat aj o ostatnych telesach s mravcami, (vy)riesil som to pre vsetky vratane 20-stena, snazil som sa aj pre teserakt, ale to je momentalne nad ramec mojich schopnosti
Co sa tyka teseraktu, tak moja predstavivost v stvorrozmernom priestore dost zlyhava, asi to necham skor ako ma niekam odvezu
Teraz sa zamyslam nad tym, ako vyzera pravidelny 20-sten - mam medzery Zeby to bolo 20 pravidelnych trojuholnikov polepenych dokopy? Este si tak predstavit, ako by to asi slo...
Pozri si prve dva obrazky z druhej serie na tejto stranke. Ako si spravne dedukoval, sklada sa z 20 rovnostr. trojuh.
Moja uvaha o mravcoch na 20-stene:
20-sten ma 12 vrcholov. Nasim cielom je hladat n-tice uzavretych jednoduchych (nepretinajucich sa) tras, ktore spolu obsahuju vsetkych 12 vrcholov 20-stena, a ziadne dve sa nemaju spolocny bod. Pre kazdu takuto n-ticu potom existuje 2^n tras.
Napisme si teda mozne n-tice tras, pricom berme do uvahy len pocet tras v n-tici a dlzku trasy (pocet vrcholov 20-stena, ktore trasa obsahuje).
Mozme teda uvazovat o nasledujucich pripadoch, oprav ma, ak som nejake zabudol:
3-3-3-3: jedina mozna stvorica tras
Trojice:
4-4-4
5-4-3
6-3-3
Dvojice:
6-6
7-5
8-4
9-3
A napokon jedina trasa obsahujuca vsetkych 12 vrcholov.
Hlavna cast ulohy teraz spociva v tom, zistit pocet tras pre jednotlive podporblemy, ktore som hore vypisal.
Moje dva osobne postrehy, ktore som si uvedomil pri rieseni:
1. treba "davat pozor" pri rotacii tras, uvedomit si, kedy sa 2 n-tice zhoduju, kedy nie
2. treba si uvedomit, ze moze existovat viacero tras urcitej dlzky (t.j. trasy rovnakej dlzky, ale rozneho tvaru)
Zoberme si stvoricu 3-3-3-3:
Rozdelme si 20-sten na 2 polovice (ktore budu dokonale symetricke, kedze cely pravid. 20-sten je jednym z 5 platonskych telies P3). Zoberme si trojuholnik-trasu v strede jednej polovice 20-stena. Mame 2 sposoby, ako doplnit do druhej polovice zvysne 3 trasy. Podla mna, uvahou a priestorovou predstavou, ma zmysel volit za "bazalny" trojuholnik 8 stien 20-stena, ku kazdemu z nich existuju 2 stvorice tras, mame teda 16 stvoric, teda pre pripad 3-3-3-3 existuje 16.2^4 (=2^8) tras.
Obdobne som riesil ostatne pripady, pre niektore je to jednoduche, pre niektore extra komplikovane, ak chces, mozes sa pozriet ci ti 3-3-3-3 vyjde rovnako a potom mozme rozobrat aj ostatne priapdy.
Mame velmi dlhy rad ziaroviek na jednej priamke. Dej: zapne sa prva ziarovka, zhasne, zapne sa druha, zhasne, potom tretia, zhasne atd atd. Ak sa toto bude diat dostatocne rychlo, moze fiktivny pohybujuci sa svetelny bod dosiahnut pre pozorovatela nadsvetelnu rychlost?
jaj
Myslim, ze pomyselny svetelny bod by mohol dosiahnut nadsvetelnu rychlost. Staci predstavu redukovat na 2 ziarovky a povedat, ze je medzi nimi nenulova vzdialenost. Potom je teoreticky (pri dostatocne velkej vzdialenost aj prakticky) mozne zasvietit druhu ziarovku skor ako by k nej doslo svetlo od tej prvej.
Clovek si inak lahko moze vymysliet x takychto prikladov "nadsvetelnej rychlosti". Napriklad, lietadlo leti vodorovne nad svahom extremne vysokej a strmej hory. Tien lietadla po svahu sa pohybuje rychlejsie ako svetlo
Alebo ukazujem laserovym ukazovadlom na velmi vzdialenu a velmi velku tabulu. Pohnem nim do niektorej strany, cervena bodka na tabuli sa posunie nadsvetelnou rychlostou
Chcel som sa este spytat, preco tieto fenomeny neprotirecia zakonom fyziky, ved napriklad pohyb tiena mozme povazovat za prenos informacie, ale pri tvojej analyze to bude asi zbytocne